Начертательная
Математика
Лабораторные
Электротехника
Конструирование
Примеры
Физика
Электрические сети

Инженерная графика

Курсовая
ТОЭ
Энергетика
Черчение
Практика
Расчеты
На главную

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Примеры.

 1)Рассмотрим электрическое поле точечного заряда , помещенного в начале координат:

 

 

Так как  и

аналогично,  то  при  Физически этот результат означает отсутствие источников поля в любой точке, кроме начала координат. В начале координат  (бесконечная плотность заряда).

  2) Найти дивергенцию векторного поля  

в точке   Ответ: 84. 

 3) Проверить соленоидальность поля  

 III Ротором (или вихрем) векторного поля

  называется вектор-функция

 

 Ротор характеризует завихренность поля  в данной точке.

 Равенство ротора нулю является необходимым и достаточным условием потенциальности поля.

 Примеры.

  1). Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг оси  с постоянной угловой скоростью . Векторное поле скоростей  точек этого тела можно представить в виде

 

Найдем ротор поля скоростей

 

 Таким образом,  является постоянным вектором, направленным вдоль оси вращения , а его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения тела.

 2). Рассмотрим потенциальное поле  Его потенциал  Вычислим ротор этого поля: 

 

Ротор любого потенциального поля равен нулю. Поэтому говорят, что потенциальное поле является безвихревым.

 3) Найдите ротор векторного поля  в точке  Ответ: {1,1,1}.

 8. ПОЛНЫЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

 НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

По определению полного приращения функции  имеем

 .

Предположим, что в рассматриваемой точке  имеет непрерывные частные производные. Выразим через частные производные. Для этого представим приращение функции в виде

При

меняя к первой и второй разностям теорему Лагранжа, получим

 где  заключено между и ;

где  заключено между и .

Подставляя представление разностей через производные в полное приращение функции, получим . Так как по предположению частные производные непрерывны, а  и  заключены между и  и и  соответственно, то

 .

Последние равенства можно записать в виде

  где величины

стремятся к нулю при , то есть когда .

Тогда . Сумма  является бесконечно малой более высокого порядка, чем . Действительно,  так как , а . Сумма  линейна относительно  и при  представляет собой главную часть приращения функции.

  Определение. Функция , полное приращение которой в данной точке  может быть представлено в виде суммы выражения, линейного относительно  и величины бесконечно малой более высокого порядка, чем , называется дифференцируемой в данной точке. Главная часть полного приращения функции линейная относительно   называется полным дифференциалом функции и обозначается  или .

 Если функция  имеет непрерывные частные производные в данной точке, то она дифференцируема в этой точке и имеет полный дифференциал

 .

Полное приращение функции представимо в виде , следовательно, .

 Приращения  будем называть дифференциалами независимых переменных  и обозначать , тогда

 .

 Аналогично, для функции трех переменных

 

 Пример. Найти дифференциал функции

 1)  в точках

Решение. Вычислим частные производные . Запишем вид дифференциала

Тогда

 2)   в точках

 Ответ:

 9.ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА К 

  ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

 Пусть , тогда

 , следовательно,

 .

 Пример. Вычислить приближенно .

 Решение. Пусть ,  , Найдем 

  .

Вычислим  


Теплоэнергетика

Физика