Найти частные производные функций Найти локальные экстремумы функции Криволинейные интегралы Система координат Найти предел Комплексные числа Производная по направлению

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Системой дифференциальных уравнений называется система

, ,

в каждое из n уравнений которой входят независимая переменная t, искомые функции ,  и их производные. Независимую переменную в большинстве задач удобно понимать как время; в этом случае производные можно обозначать точками.

Решением системы дифференциальных уравнений называется векторная функция скалярного аргумента  (упорядоченный набор из n функций), при подстановке которой в систему каждое из ее уравнений обращается в тождество. Общее решение системы включает n постоянных интегрирования:

, ,

Частное решение может быть получено из общего решения и системы из n начальных условий.

Нормальной, или динамической системой уравнений называется система, каждое из уравнений которой разрешено относительно производной, причем правые части не содержат производных:

,

или

, ,

(1.31)

где .

Нормальную систему можно записать в виде одного векторного уравнения

,

где .

Автономной нормальной системой называется нормальная система, правая часть которой не содержит времени:

, .

Если функции в правой части системы непрерывны вместе со своими частными производными в окрестности точки , то существует единственная система функций , которая является решением системы (1.31) и удовлетворяет начальным условиям

, .

(1.32)

Начальное условие можно записать в векторной форме:

.

Решение  определяет линию в n-мерном пространстве. Это пространство называют фазовым пространством, а линию  называют фазовой траекторией.

Преобразование системы к уравнению высшего порядка

Систему дифференциальных уравнений можно заменить одним уравнением, порядок которого равен числу уравнений исходной системы. Для этого следует из уравнений системы и уравнений, полученных из них дифференцированием, исключить все неизвестные функции, кроме одной. Для определения последней будет получено уравнение высшего порядка. После нахождения этой функции остальные, по возможности без интегрирования, находятся из уравнений системы и уравнений, полученных в результате их дифференцирования.

Пусть, например, требуется решить систему

.

Дифференцируя первое уравнение системы, получим . Выражая производную   и подставляя ее во второе уравнение, получим однородное линейное уравнение второго порядка относительно одной функции:

.

Характеристическое уравнение  имеет корни . Поэтому первая из функций, составляющих общее решение, имеет вид

;

дифференцируя, найдем вторую функцию, входящую в решение:

.

Пусть требуется решить систему

.

Выразим из второго уравнения первую из неизвестных функций:

.

Дифференцируя обе части, выразим производную первой из неизвестных функций:

.

Подставляя выражения для x и  в первое уравнение, получим

.

Решение того уравнения:

,

откуда

.

Пусть требуется решить систему из трех уравнений

.

Для решения системы здесь удается применить метод, называемый методом интегрируемых комбинаций. Складывая уравнения почленно, получим

,

,

,

,

,

откуда . Исключая z из исходной системы, понизим ее порядок до двух:

.

Далее, из первого уравнения ; тогда

,

Система сведена к неоднородному линейному уравнению второго порядка для одной неизвестной функции , из которого эта функция и может быть найдена. Дифференцируя, найдем , после чего определим третью из неизвестных функций.

Одна интегрируемая комбинация позволяет получить одно конечное уравнение (в последнем примере – уравнение), связывающее неизвестные функции и независимую переменную. Это конечное уравнение называют первым интегралом системы. После нахождения первого интеграла одна из функций выражается через остальные и тем самым порядок системы понижается на единицу.


На главную