Начертательная
Математика
Лабораторные
Электротехника
Конструирование
Примеры
Физика
Электрические сети

Инженерная графика

Курсовая
ТОЭ
Энергетика
Черчение
Практика
Расчеты
На главную

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называют уравнение

,

(1.18)

в котором  и  являются константами.

Если правая часть (1.18) равна нулю, то уравнение называют однородным; в противном случае его называют неоднородным.

Для нахождения общего решения однородного уравнения

(1.19)

следует найти два решения  и , для которых определитель Вронского

;

такие решения называют линейно независимыми. Тогда линейная комбинация

будет искомым общим решением.

Решения y1, y2 следует искать в виде

.

Дифференцируя и подставляя в (*), получим:

; ; .

В силу :

.

(1.20)

Полученное уравнение называется характеристическим.

Если характеристическое уравнение имеет два действительных различных корня k1 и k2, то искомая пара линейно независимых решений:

, .

Общее решение:

.

Если уравнение (1.20) имеет два комплексно-сопряженных корня

, ,

то искомая пара линейно независимых решений:

, .

Общее решение:

.

Если характеристическое уравнение имеет один двукратный корень

,

то искомая пара линейно независимых решений

, .

Поэтому общее решение

.

Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольных постоянных, однако для некоторых частных видов правой части это удается сделать, не прибегая к интегрированию. Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

,

где y0 – решение соответствующего однородного уравнения, yr – какое-либо частное решение неоднородного уравнения.

Пусть правая часть является многочленом n-й степени:

, .

Если  не корнем (c), то частное решение ищется в виде

.

Дифференцируя yr и подставляя результат в (a), получим:

,

,

.

(1.21)

Так как  не является корнем характеристического уравнения, то третье слагаемое в левой части отлично от нуля. Поэтому обе части (1.21) есть многочлены n-й степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему уравнений, откуда и определим все A1, A2, ... An. Общее решение будет иметь вид:

.

Пусть a является корнем (возможно, двукратным) характеристического уравнения. Тогда левая часть (1.21) есть многочлен степени ниже n. Следовательно, уравнение (1.21) ни при каком Qn не будет тождеством. В этом случае решение yr ищется в виде

a)  – если a является одним из корней;

b)  – если a является двукратным корнем.

Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид:

,

где  и  – многочлены.

Если число  не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде

, где ,

в противном случае оно ищется в виде

.


Теплоэнергетика

Физика