Найти частные производные функций Найти локальные экстремумы функции Криволинейные интегралы Система координат Найти предел Комплексные числа Производная по направлению

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Любое частное решение полученного дифференциального уравнения будет искомой функцией  (сохранять произвольную постоянную нет необходимости, так как она не оказывает влияния на вид общего интеграла исходного уравнения).

Пример. . Для функций  и  выполнено условие

(обе производные равны нулю), поэтому данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Имеем:

,

, , , ,

.

Обший интеграл уравнения имеет вид

, или .

Заметим, что в данном примере уравнение можно решить, разделив переменные:

, , ,

что совпадает с полученным выше результатом.

Может оказаться, что уравнение

не является уравнением в полных дифференциалах, однако становится им после умножения обеих частей на некоторую функцию . В этом случае последнюю функцию называют интегрирующим множителем. Поиск интегрирующего множителя является задачей не менее сложной, нежели интегрирование исходного уравнения.

Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной:

,

(1.13)

Если , то уравнение называют однородным; в противном случае его называют неоднородным.

Линейные однородные уравнения допускают разделение переменных:

, , ,

где  – какая-либо первообразная функции .

Линейные неоднородные уравнения обычно интегрируются методом Бернулли. Решение ищется в виде

,

тогда

, , .

Функцию  можно выбрать так, чтобы сумма в скобках обратилась в ноль:

, , , .

Постоянная C1 может иметь любое отличное от нуля значение; полагая C1=1, получим

.

Исходное уравнение примет вид

.

Разделяя в нем переменные, интегрируя и возвращаясь к исходной переменной, найдем решение.

Пример. . Пусть , тогда

, .

Пусть функция  такова, что сумма в скобках обращается в ноль. Одним из решений уравнения  является функция . Подставляя ее в уравнение , получим

, , .

Окончательно:

.

Решение неоднородного уравнения можно выполнить иначе – используя метод вариации постоянной. Пусть общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

.

Далее следует, считая C неизвестной функцией от x, подставить это решение в исходное неоднородное уравнение.

Для приведенного примера: , . Полагая  и подставляя функцию  в исходное уравнение, получим

, , , .

Уравнением Бернулли называется уравнение

, .

(1.14)

Это уравнение также интегрируется заменой .

Уравнения Лагранжа и Клеро

Уравнением Лагранжа называется обыкновенное дифференциальное уравнение

,

(1.15)

не разрешенное относительно производной, но линейное относительно независимой переменной и искомой функции. Уравнение Лагранжа разрешимо в квадратурах методом введения параметра. Пусть (1.15) приводимо к виду

.

Полагая  и дифференцируя обе части по переменной x, получим:

,

,

,

,

Последнее уравнение является линейным относительно функции .

Частным случаем уравнения Лагранжа является уравнение Клеро:

.

(1.16)

К этому уравнению приводят многие геометрические задачи, в которых требуется определить кривую по данному свойству ее касательных.

Уравнения, допускающие понижение порядка

Пусть требуется найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка

.

(1.17)

Искомое решение является функцией

,

зависящей от двух произвольных постоянных.

Если уравнение (1.17) не содержит искомой функции, то понизить порядок уравнения можно заменой

, .

Например, пусть требуется решить уравнение . Выполняя замену , , получим

, , , .

Возвращаясь к искомой функции, будем иметь

, .

Если уравнение не содержит независимой переменной, то понизить порядок можно заменой

, .

Пример: . Выполняя замену , , получим

.

Одним из решений этого уравнения является функция . Пусть :

, .

Полученное решение включает функцию  в качестве частного случая (соответствует значению ), поэтому отдельно рассматривать решение  не нужно. Возвращаясь к искомой функции, получим

, , , .

Аналогично понижается степень в уравнениях вида

.

Пример: . Первоначально выполним замену , . Получим

.

Положим далее , , тогда

, , , ,

, , ,

,

откуда

,

.


На главную