Найти частные производные функций Найти локальные экстремумы функции Криволинейные интегралы Система координат Найти предел Комплексные числа Производная по направлению

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Пример 1. Движение в вязкой среде. Пусть частица постоянной массы падает под действием силы тяжести, причем сила сопротивления Fr, действующая на частицу со стороны внешней среды, пропорциональна скорости и противоположна ей по направлению:

, ,

где  – постоянный коэффициент, характеризующий свойства среды.

Найдем зависимость, по которой изменяется скорость частицы. Согласно основному закону динамики

,

где m – масса частицы, t – время, Fg – сила тяжести, Fr – сила сопротивления. Это векторное уравнение равносильно системе из трех скалярных уравнений, вид которой зависит от выбора системы координат. Направим ось Ox вдоль направления движения (вертикально вниз). Тогда

, ,

где v – модуль скорости. В системе остается одно уравнение:

Различные определения непрерывности функции в точке Эквивалентность определений либо следует из эквивалентности определений конечного предела функции, либо может быть установлена. Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл. Пусть в некоторой замкнутой области D плоскости хОу определена ограниченная функция z = f(x,у), причём f(x,y)>0. К определению двойного интеграла приходим, вычисляя объём фигуры, основание которой - область D; сверху фигура ограничена поверхностью, уравнение которой z=f(x,y) боковая поверхность - цилиндрическая, образованная прохождением прямой, параллельной оси Oz вдоль границы L области D.

.

(1.1)

При решении задачи не удалось непосредственно найти закон, связывающий независимую переменную – время t – и искомую функцию – скорость ; была лишь установлена связь между искомой функцией и ее производной. Соотношения, подобные (1.1), называют дифференциальными уравнениями.

Можно убедиться, функция

(1.2)

при любом  является решением уравнения (1.1). Действительно, подстановка (1.2) в (1.1) дает

,

,

;

уравнение (1.1) обратилось в тождество.

В решение (1.2) входит произвольная постоянная C. Для определения этой постоянной необходима дополнительная информация – начальное условие – значение скорости в начальный момент времени:

.

Подставляя начальное условие в решение (1.2), получим

,

, .

Искомая зависимость скорости от времени принимает вид

.

(1.3)

Таким образом, при движении частицы в среде с сопротивлением скорость возрастает от начального значения , асимптотически приближаясь к значению

,

при котором модуль силы сопротивления совпадает с модулем силы тяжести (рис. 1.1)

Рис. 1.1. Зависимость скорости от времени при движении в вязкой среде

Если сопротивление среды пренебрежимо мало (), то (1.3) переходит в известное уравнение кинематики:

.

Пример 2. Охлаждение тела. Пусть тело, имеющее температуру 0, в момент времени t0 = 0 помещено в среду с температурой . Требуется найти закон  изменения температуры тела.

Известно, что скорость охлаждения тела пропорциональна разности его температуры и температуры окружающей среды:

, , .

Можно проверить, что при любом  функция

удовлетворяет полученному уравнению. Постоянная C может быть найдена из начального условия :

, .

Окончательно:

.

Здесь, как и в предыдущем примере, искомая величина – температура тела – асимптотически приближается к температуре окружающей среды.

Пример 3. Свободные колебания. Пусть частица движется вдоль оси Ox под действием квазиупругой силы, направленной к положению равновесия и пропорциональной смещению. Если абсцисса положения равновесия совпадает с началом координат, то проекция силы на ось Ox равна

,

где k – положительная константа.

Найдем зависимость координаты от времени. Из основного закона динамики:

,

.

(1.4)

Можно убедиться, что любая функция вида

,

(1.5)

где A и  – произвольные постоянные, является решением дифференциального уравнения (1.5). Постоянную A называют амплитудой, а постоянную   – начальной фазой колебаний. Амплитуда и начальная фаза определяются положением и скоростью частицы в начальный момент времени.

Постоянная

,

квадрат которой есть возвращающая сила на единицу смещения и единицу массы, называется круговой частотой. Зависимость (1.5) изображена на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Зависимость координаты от времени при свободных колебаниях

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(1, 1, 1).

Производная по направлению Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М1( x + Dx, y + Dy, z + Dz).

Основные понятия теории дифференциальных уравнений Дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором неизвестной является функция одной или нескольких переменных, причем в уравнение входят производные этой функции.

Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной


На главную