Найти частные производные функций Найти локальные экстремумы функции Криволинейные интегралы Система координат Найти предел Комплексные числа Производная по направлению

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Производная по направлению

Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М1( x + Dx, y + Dy, z + Dz).

 Проведем через точки М и М1 вектор . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .

 Расстояние между точками М и М1 на векторе  обозначим DS.

 

 Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:

 z

 M 

 

 

 M1

 

 

 y

 x

  Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:

,

где величины e1, e2, e3 – бесконечно малые при .

 Из геометрических соображений очевидно:

 Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

;

 Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление вектора .

 Из этого уравнения следует следующее определение:

  Определение: Предел  называется производной функции u(x, y, z) по направлению вектора  в точке с координатами ( x, y, z).

 Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора .

=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2.

Далее определяем модуль этого вектора:

=

Находим частные производные функции z в общем виде:

Значения этих величин в точке А :

Для нахождения направляющих косинусов вектора  производим следующие преобразования:

=

За величину  принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора :

cosa = ; cosb = -

Окончательно получаем:  - значение производной заданной функции по направлению вектора .

Градиент

 Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке

,

то этот вектор называется градиентом функции u.

 При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.

Связь градиента с производной по направлению

 Теорема: Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов

.

Тогда производная  по направлению некоторого вектора  равняется проекции вектора gradu на вектор .

 Доказательство: Рассмотрим единичный вектор  и некоторую функцию u = u(x, y, z) и найдем скалярное произведение векторов  и gradu.

 Выражение, стоящее в правой части этого равенства является производной функции u по направлению s.

 Т.е. . Если угол между векторами gradu и  обозначить через j, то скалярное произведение можно записать в виде произведения модулей этих векторов на косинус угла между ними. С учетом того, что вектор  единичный, т.е. его модуль равен единице, можно записать:

 Выражение, стоящее в правой части этого равенства и является проекцией вектора gradu на вектор .

 Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторого скалярного поля u в какой- либо точке. В физике существуют такие понятия как градиент температуры, градиент давления и т.п. Т.е. направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.

 С точки зрения геометрического представления градиент перпендикулярен поверхности уровня функции.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям

Большинство законов природы имеют дифференциальный характер – они связывают бесконечно малые изменения рассматриваемых величин. Например, основной закон динамики

связывает бесконечно малое изменение импульса dp с силой F, действующей в течении бесконечно малого интервала времени dt. Можно сказать, что сила – это скорость изменения импульса:

.

В последнем соотношении производная вектора вычисляется как вектор из производных:

.

Вывод интегральных соотношений (соотношений, связывающих конечные изменения величин) на основании дифференциальных законов выполняется на основе результатов теории дифференциальных уравнений.


На главную