Найти частные производные функций Найти локальные экстремумы функции Криволинейные интегралы Система координат Найти предел Комплексные числа Производная по направлению

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Частные производные функции нескольких переменных

 Определение. Частной производной по  от функции  называется предел отношения частного приращения  по  к приращению  при стремлении  к нулю (если он существует)

 

 Аналогично,

 

Заметим, что  вычисляется при неизменном , а

при неизменном , поэтому частной производной по  от функции  называется производная по , вычисленная в предположении, что  - постоянная.

 Частной производной по  от функции  называется производная по , вычисленная в предположении, что - постоянная. 

 Физический смысл частной производной -это скорость изменения функции в точке   в направлении оси , а – скорость изменения функции в точке  в направлении оси .

 Примеры.

Найти частные производные функций:

1). Решение. Вычислим  в

предположении, что  имеет фиксированное значение:

. При вычислении  считаем  имеет фиксированное значение:

2) , . Решение. При вычислении частной

производной функции  по аргументу  рассматриваем

функцию   как функцию только одной переменной , то есть считаем, что  имеет фиксированное значение. При фиксированном  функция  является степенной функцией аргумента . По формуле дифференцирования степенной функции получаем Аналогично, при вычислении частной производной  считаем, что фиксировано значение , и рассматриваем функцию как показательную функцию аргумента . Получаем

 Упражнения для самостоятельной работы:

Найти частные производные следующих функций:

а) б) в)

г) д)  е)

ж) з)  и) к)

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

 Обозначим через  плоскую кривую, полученную при пересечении поверхности  плоскостью  Пусть касательная к кривой  в точке  образует угол  с положительным направлением оси .Тогда  Аналогично, обозначим через - сечение поверхности  плоскостью , - угол, образованный осью  и касательной к кривой в точке . Тогда  Таким образом, частная производная в точке  численно равна тангенсу угла наклона касательной в точке  к кривой, полученной при пересечении поверхности  плоскостью  Частная производная в точке  численно равна тангенсу угла наклона касательной в точке  к кривой, полученной при пересечении поверхности  плоскостью

 7.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ПЕРВОГО

 ПОРЯДКА В СКАЛЯРНЫХ И ВЕКТОРНЫХ ПОЛЯХ.

 Частные производные находят широкое применение в физике при исследовании различных скалярных и векторных полей (температурного, гравитационного, электромагнитного, электростатического и т.д.).

I.Определение. Градиентом скалярного поля  называется вектор-функция

 

Вектор   в данной точке указывает направление наибольшего роста поля (функции ) в этой точке, а  есть скорость роста функции в этом направлении.

 Определение. Векторное поле  называется потенциальным в области , если его можно представить в этой области как градиент некоторого скалярного поля :

 Примеры.

 1). Рассмотрим поле тяготения точечной массы , помещенной в начале координат. Оно описывается вектор-функцией  (-гравитационная постоянная,

 , ). С такой силой действует это поле на единичную массу, помещенную в точку . Поле тяготения является потенциальным. Его можно представить как градиент скалярной функции , называемой ньютоновским потенциалом поля тяготения точечной массы . Действительно,   Аналогично  откуда

 

 2)Рассмотрим электрическое поле точечного заряда ,

помещенного в начале координат. Оно описывается в точке  вектором напряженности

(, ).

 Докажите, что поле потенциально и его можно представить в виде  Функция   называется потенциалом электрического поля точечного заряда .

 Поверхности уровня потенциала  называются эквипотенциальными поверхностями. В рассмотренных примерах эквипотенциальными поверхностями являются сферы с центром в начале координат.

  3)Найти градиент скалярного поля  в точке

 Ответ:{12,-8,-6}.

 4)Найдите угол между градиентами скалярного поля в точках  и  

 Ответ:

  II.Определение. Дивергенцией векторного поля  называется скалярная функция

  .

Слово «дивергенция» означает «расходимость» («расхождение»). Дивергенция характеризует плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке.

 Определение. Векторное поле называется соленоидальным в области , если в этой области  Так как  характеризует плотность источников поля , то в той области, где поле  соленоидально, нет источников этого поля.


На главную