Найти частные производные функций Найти локальные экстремумы функции Криволинейные интегралы Система координат Найти предел Комплексные числа Производная по направлению

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Определение. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области.

 Примеры.

Исследовать непрерывность функции . Решение. Найдем полное приращение функции 

,

следовательно, . Функция непрерывна.

Найти точки разрыва функции .

Решение. Данная функция не определена в тех точках, где

знаменатель дроби равен нулю: , то есть функция не определена на прямой  В остальных точках плоскости функция определена и непрерывна. Множество точек разрыва данной функции есть прямая   Отметим, что в любой точке  , лежащей на прямой  и не совпадающей с точкой  (т.е. ), существует предел функции  Поэтому точки  при можно назвать точками устранимого разрыва: если положить , то функция станет непрерывной в точке . В точке   имеем

 ,

то есть - точка неустранимого разрыва данной функции.

Исследовать на непрерывность в точке  функцию

 

Решение. Применяя известную формулу для разности

косинусов, запишем

функцию  в виде  Так как

  то функция 

 непрерывна в точке .

 Задачи и упражнения для самостоятельной работы 

Найти точки разрыва следующих функций:

а)   б)  в)  ;

г)   д) ; е)  

 ж)

Ответ: . а)О(0,0); б) все точки окружности ; в)

все точки конической поверхности ; г) все точки прямой ; д) все точки прямых ; е) все точки прямых ; ж) все точки сфер .


На главную