Начертательная
Математика
Лабораторные
Электротехника
Конструирование
Примеры
Физика
Электрические сети

Инженерная графика

Курсовая
ТОЭ
Энергетика
Черчение
Практика
Расчеты
На главную

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Линии и поверхности уровня

 В некоторых случаях можно получить наглядное геометрическое представление о характере изменения функции, рассматривая ее линии уровня (или поверхности уровня ), то есть линии (поверхности), где данная функция сохраняет постоянное значение.

 Определение. Линией уровня функции  называется множество всех точек плоскости , для которых данная функция имеет одно и то же значение:

 Пример. Для функции  линиями уровня является семейство концентрических окружностей   с центром в точке .

 Определение. Поверхностью уровня функции  называется множество всех точек пространства , для которых данная функция имеет одно и то же значение.

 Линии и поверхности уровня постоянно встречаются в физических вопросах. Например, соединив на карте поверхности Земли точки с одинаковой средней суточной температурой или с одинаковым средним суточным давлением, получим соответственно изотермы и изобары, важные для прогноза погоды.

 3. ЧАСТНОЕ И ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЯ ФУНКЦИИ

 Пусть - функция двух независимых переменных и . Дадим переменной  приращение , оставляя

переменную  неизменной, тогда разность

  

называется частным приращением функции  по переменной .

 Аналогично, если  сохраняет постоянное значение, а  получает приращение , функция получает приращение, называемое частным приращением функции  по переменной : .

 Если обе переменные  и  получили соответственно приращения  и , тогда соответствующее приращение функции: 

 

называется полным приращением функции .

 Заметим, что полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных приращений этой функции .

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

  Определение. Окрестностью радиуса  точки  называется совокупность всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству , то есть точки, лежащие внутри круга радиуса , с центром в точке

 Пусть дана функция , определенная в некоторой точке  плоскости . Пусть точка  лежит в области или на ее границе.

 Определение. Число  называется пределом функции  при стремлении точки  к точке , если для каждого числа  найдется такое число , что для

всех точек  из окрестности радиуса  точки

выполняется неравенство  

 Если число  является пределом функции  при стремлении точки  к точке , то пишут

 Заметим, что предел функции двух переменных не должен зависеть от того, по какой линии точка  стремится к точке .

 Примеры.

 1.Вычислить предел  Решение. Представим

функцию в виде  Так как

  при , то

Далее,   Поэтому искомый предел равен * 

 2.Вычислить  Решение. Перейдем к полярным координатам  Центр полярной системы находится в точке , полярная ось параллельна . При стремлении   полярный радиус  В нашем примере , поэтому

  Тогда 

 

 3. Существует ли предел ? Решение. Пусть точка  стремится к точке  по прямой , проходящей через точку . Тогда получим Таким образом, приближаясь к точке  по различным прямым, соответствующим разным значениям , получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке   не существует.

 4. Вычислить предел  Решение. Перейдем к полярной системе координат 

 

Так как значение предела зависит от , то при подходе к точке (0,0) по разным направлениям получаются различные предельные значения. Следовательно, функция в этой точке не имеет предела.

  Задачи и упражнения для самостоятельной работы 

Вычислить пределы:

а)   б)   в)  ;

г)   д)  е)  

 ж)   з)  

Ответ: . а); б)2; в); г) 0; д) 0; е)0; ж)0; з)1.

Докажите, что следующие пределы не существуют:

 а) б) в)

 Определение. Пусть точка  принадлежит области определения функции . Функция  называется непрерывной в точке , если имеет место равенство  причем точка  стремится к точке  произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

 Из определения следует, что для непрерывности функции в точке должны быть выполнены следующие условия:

функция   определена в точке ;

существует предел ;

предел равен значению функции в точке .

Если в некоторой точке не выполняется хотя бы одно из

условий (1-3), то точка называется точкой разрыва функции .

 Приведем еще одно определение непрерывности функции в точке:

 Определение. Функция  называется непрерывной в точке , если :

 1)функция определена в этой точке;

 2)бесконечно малым приращениям  соответствует бесконечно малое приращение

Во многих вопросах геометрии, естествознания и т.д. приходится иметь дело с функциями двух, трех и более переменных. Пример. Решая уравнение сферы  относительно  при , получим , то есть - функция двух переменных. Определена эта функция в круге

  Примеры. Исследовать непрерывность функции . Решение. Найдем полное приращение функции 

Частные производные функции нескольких переменных Найти частные производные функций: .

Рассмотрим электрическое поле точечного заряда , помещенного в начале координат:


Теплоэнергетика

Физика