Начертательная
Математика
Лабораторные
Электротехника
Конструирование
Примеры
Физика
Электрические сети

Инженерная графика

Курсовая
ТОЭ
Энергетика
Черчение
Практика
Расчеты
На главную

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Формула Грина-Остроградского связывает двойной интеграл по области (P) с криволинейным интегралом по границе (L) этой области.

I. Пусть область (P) ограничена контуром (L), состоящим из непрерывных кривых y=j1(x), y=j2(x), j1(x)£j2(x) "xÎ[a;b] и отрезков прямых x=a, x=b, a<b, то есть (P) - простая область I типа: (PI)

Если функция P(x;y) вместе с  непрерывна на замкнутой простой области (PI), то справедлива формула

, (1)

где интегрирование по контуру берется в положительном направлении.

Доказательство.

.

Формула(1) справедлива и для более сложных областей, которые можно разбить на конечное число областей I типа. Покажем это на следующем примере.

Пусть область  ограничена контуром (L). , где  - простые области I типа. Обозначим  - контуры этих областей. Пусть   - части, на которые разбит контур (L).

, , .

К каждой из областей  применима формула (1).

,

,.

Сложив эти равенства, учитывая, что , получим формулу (1).

II. Пусть область (P) ограничена кривой (L), состоящей из непрерывных кривых x=y1(y), x=y2(y), y1(y)£y2(y) "yÎ[c;d] и отрезками прямых y=c, y=d (c<d). То есть (P) - простая область II типа: (PII).

Если функция  непрерывна на замкнутой области (PII), то справедлива формула

. (2)

Криволинейный интеграл в (2) берется в положительном направлении. Доказательство (2) аналогично доказательству формулы (1). Формула (2) справедлива и для более сложных областей, которые можно разбить на конечное число областей II типа.

III. Область (P) называется простой , если она одновременно является областью (PI) и (PII). Очевидно, любая прямая, параллельная осям координат, пересекает простую область не более, чем в двух точках.

Пусть (P) - простая область, (L) - ее контур. Тогда для этой области справедливы одновременно равенства (1) и (2). Вычитая (1) из (2) получим

. (3)

Из вышесказанного следует, что формула (3) справедлива и для области, которая может быть представлена в виде конечного числа простых областей. Итак, доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть (P) - простая область (или область, представимая в виде конечного числа простых областей). Тогда если P(x;y) и Q(x;y) непрерывны вместе с частными производными  и  на замкнутой области (P), то справедлива формула (3).

Формула (3) называется формулой Грина – Остроградского. Ее можно доказать и для более общего случая: она справедлива и для области, которая ограничена одной или несколькими кусочно-гладкими кривыми.

Пример 1. С помощью формулы Грина – Остроградского вычислить криволинейный интеграл:

а) ,

б) ,

где (L) - контур треугольника с вершинами A(1;1), B(2;2), C(1;3).

Δ а) , ,

.

(AB): y=x, (BC): , x-2=2-y, y=4-x.

.

б)  P(x;y)=2ex-y, Q(x;y)=yex, , ,

. D

Пример 2. С помощью формулы Грина вычислить интеграл

, .

D  (L): x2+y2-4y+4=4, x2+(y-2)2=4,

P(x;y)=exsiny-y, ,

Q(x;y)=excosy-1, ,

  .

Или . D

6. Вычисление площадей с помощью криволинейного интеграла

Пусть для области  с границей (L) справедлива формула Грина (3):

.

Полагая в (3) Q(x;y)=x, P(x;y)=0, получим

. (4)

Полагая в (3) Q(x;y)=0, P(x;y)=-y, получим

. (5)

Складывая (4) и (5) и деля на 2, получим

.  (6)

Для вычисления площади  можно использовать любую из формул (4)-(6). Наиболее удобна последняя.

Пример 1. Вычислить с помощью криволинейного интеграла площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

t

0

x

a

a

-

-3a

-

a

a

y

0

2a

0

-2a

0

,

ABCDE: tÎ[0;p],

EA: y=0, dy=0 Þ .

Следовательно,

.

.


Теплоэнергетика

Физика