Начертательная
Математика
Лабораторные
Электротехника
Конструирование
Примеры
Физика
Электрические сети

Инженерная графика

Курсовая
ТОЭ
Энергетика
Черчение
Практика
Расчеты
На главную

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Существование и вычисление криволинейных интегралов II типа

Теорема. Пусть кривая L=AB задана параметрическими уравнениями

где  и   - непрерывно дифференцируемые функции на [a;b]. При изменении параметра t от a до b кривая описывается от точки A к точке B. Пусть функции f(x;y), P(x;y), Q(x;y) непрерывны на кривой L (т. е. "M0ÎL ). Тогда существуют , ,  и справедливы соотношения:

1) ,

2) ,

3) .

Доказательство.

  Докажем существование  и равенство 1).

Возьмем произвольное разбиение  кривой  точками  на n частичных дуг. Выберем произвольные точки   и составим интегральную сумму

,

, .

Обозначим через tk значение параметра t, которому соответствует точка , а через tk - значение t, которому соответствует точка . Тогда

.

Подставим эти соотношения в :

.

Согласно формуле Ньютона-Лейбница . Подставляя в последнее равенство, получим:

.  (5)

По условию f(x;y) непрерывна вдоль L, j(t), y(t), j¢(t) непрерывны на [a;b], следовательно, функция f(j(t);y(t))×j¢(t) интегрируема на [a;b].

. (6)

Рассмотрим разность . Из (5), (6) следует

.

Оценим модуль этой разности:

.  (7)

Так как  непрерывна на [a;b], то она ограничена на [a;b], то есть  выполнено . (8)

Так как  непрерывна на [a;b], то она равномерно непрерывна на [a;b], то есть  выполнено

.  (9)

Если разбиение Т взять таким образом, что , то есть , то  . Следовательно, для таких t выполнено (9):

.  (10)

Тогда из (7), учитывая (8), (10), получим

.

Таким образом,  выполнено

.  (11)

Обозначим . Тогда из (11) следует, что

.  (12)

Если , то и ®0. Тогда

.

Þ , и т.к. , , то

, то есть верно равенство 1).

Замечание 1. Пусть кривая АВ задана явным уравнением y=j(x), где j определена и непрерывна вместе с  на [a;b], A=j(a), B=j(b). Пусть f непрерывна на кривой АВ. Тогда

.

Аналогично, если кривая АB задана уравнением x=y(y), yÎ[c;d], где y(y) непрерывно-дифференцируема на [c;d], то

.

Замечание 2. Если кривая АВ представляет собой отрезок, параллельный оси Oy, то . Это следует из того, что в интегральной сумме =0 , следовательно, . Отсюда . Аналогично, если АВ – отрезок, параллельный оси Ox, то .

Пример 1. Вычислить , если L - дуга параболы y=x2 от точки (0;0) до точки (2;4).

Δ I способ. y=x2 Þ dy=2xdx, xÎ[0;2].

.

II способ. .

. D

Пример 2. , где L - верхняя половина эллипса, , проходимая по часовой стрелке.

Δ  - параметрические уравнения кривой L (t изменяется от  до 0!)

, .

.  Δ


Теплоэнергетика

Физика