Найти частные производные функций Найти локальные экстремумы функции Криволинейные интегралы Система координат Найти предел Комплексные числа Производная по направлению

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Криволинейные интегралы II типа

Задача о работе плоского силового поля

Пусть материальная точка М, двигаясь прямолинейно под действием постоянной силы  совершает перемещение . Работой А, производимой этой силой, называется скалярное произведение вектора силы  на вектор перемещения :

.

Если в каждой точке М области (P) определена сила, величина и направление которой зависят только от приложения точки М, то говорят, что на области (P) задано силовое поле.

Пусть материальная точка М движется по кривой ВС, лежащей в области (P) под действием силового поля.

Задача. Определить работу А силового поля при перемещении материальной точки из точки В в точку С по кривой.

Разобьем кривую ВС произвольными точками , взятыми по направлению от В к С, на n частичных дуг. На каждой частичной дуге  выберем произвольно точки . На частичной дуге  заменим приближенно переменную силу  постоянной силой , равной вектору силы  в точке . А движение материальной точки по этой дуге заменим ее движением по хорде  этой дуги. Выполним это все . В результате приближенных замен имеем:

1) материальная точка движется по ломаной, вписанной в кривую ВС;

2) на каждом звене ломаной на материальную точку действует постоянная сила.

Работа силы  на хорде  равна

.

Суммируя по , получим

, (1)

 - работа ступенчатой силы при движении материальной точки по ломаной , вписанной в кривую ВС. Эту работу считают приближением искомой работы А силы  при перемещении материальной точки по кривой ВС: .

Пусть ,

,

.

Тогда

. (2)

Пусть   - длина , . Переходя в (2) к , получим точное равенство:

.  (3)

2. Определение криволинейного интеграла II типа

Пусть в плоскости  задана спрямляемая кривая  и вдоль нее определена функция f(x;y). Кривую  разобьем произвольно на   частей точками , . На каждой частичной дуге  выберем произвольную точку . Обозначим через Dxk и Dуk проекции дуги  на оси координат, Dxk=xk -xk-1, Dyk=yk-yk-1. Разбиение обозначим через . Составим сумму

.  (4)

(4) – интегральная сумма для функции f(x;y) на кривой AB по координате x. Пусть ,  - длина частичной дуги .

Определение 1. Число I называется пределом интегральной суммы  при , если  выполнено . Обозначается: .

Определение 2. Если существует конечный предел интегральной суммы  при , не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни от выбора точек , то он называется криволинейным интегралом по координате х от функции f(x;y), взятым по кривой AB. Функция называется интегрируемой вдоль кривой AB по координате х, если для нее вдоль этой кривой существует криволинейный интеграл по x.

Обозначается: .

Таким образом, .

Аналогично определяется криволинейный интеграл от функции f(x;y) по координате y, взятый по кривой AB:

.

Криволинейные интегралы по координатам x и y называются криволинейными интегралами II типа.

Если вдоль кривой AB две функции P(x;y) и Q(x;y), и существуют , , то сумма этих интегралов также называется криволинейным интегралом II типа (общего вида) и обозначается:

.

Физический смысл криволинейного интеграла II типа

Из задачи о работе плоского силового поля и определения криволинейного интеграла II типа следует, что криволинейный интеграл II типа общего вида

,

то есть выражает работу силы  по перемещению материальной точки по кривой из точки А в точку В.

Замечание 1. Определенный интеграл является частным случаем криволинейного интеграла II типа. Пусть кривая АВ - это отрезок AB=[a;b] оси Ox. Тогда f(x;y)=f(x;0)=F(x). Поэтому на [a;b]

.

В правой части – обыкновенная интегральная сумма для функции F(x) на [a;b]. Переходя к , получим

.

Аналогично, если кривая AB является некоторым отрезком [c;d] оси Oy, то , где F(y)=f(0;y), yÎ[c;d].

Замечание 2. Если на кривой AB поменять направление интегрирования на противоположное, то и знак криволинейного интеграла II типа изменится на противоположный. Это происходит потому, что в интегральных суммах  изменяется знак . Таким образом, криволинейные интегралы II типа от одной и той же функции f(x;y), взятые по одной и той же кривой АВ, но в противоположных направлениях, равны по модулю, но противоположны по знаку:

,

.

Следовательно, при вычислении криволинейных интегралов II типа необходимо учитывать направление интегрирования. Из двух направлений на кривой одно считают положительным, а другое – отрицательным.

Если кривая замкнута и представляет собой контур, ограничивающий некоторую область на плоскости (это будет в случае, если замкнутая кривая не имеет кратных точек), то за положительное направление принимают обычно направление против хода часовой стрелки, а за отрицательное – по ходу часовой стрелки. Но для некоторых областей такой способ задания направления непригоден. В этом случае положительным направлением считают такое направление обхода контура, когда ограниченная им область (Р) остается все время слева. Интеграл по замкнутому контуру L обозначается: . Иногда с помощью стрелки указывают направление обхода:

  или .

3. Основные свойства криволинейного интеграла II типа

1º. Если функция f интегрируема вдоль кривой AB, , то функция kf также интегрируема вдоль кривой AB, причем

.

2º. Если функции f и g интегрируемы вдоль кривой AB, то и функция f±g интегрируема вдоль кривой AB, причем

.

3º. (Аддитивность)

Для любой точки C кривой AB, если  интегрируема вдоль кривой AB, то она интегрируема и вдоль кривых AС и СВ и

.

4º. Если функция  интегрируема вдоль кривой AB, то она интегрируема и вдоль кривой ВА, причем

.

5º. Если  интегрируема по замкнутому контуру L, то величина криволинейного интеграла не зависит от того, какую точку контура принять за начальную:.

Действительно, из рисунка видно

.

6º. Если область (P), ограниченную замкнутым контуром L разделить на две области (P1) и (P2), ограниченные контурами L1 и L2 соответственно, то интеграл в некотором направлении по кривой L равен сумме интегралов по контурам L1 и L2 в том же направлении:

.

Доказательство.

.

Существование и вычисление криволинейных интегралов II типа

Формула Грина-Остроградского связывает двойной интеграл по области (P) с криволинейным интегралом по границе (L) этой области.

Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования Пример. Вычислить   вдоль кривой: 1) y=x, 2) y=x2, 3) y=x3.

Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца.


На главную