Найти частные производные функций Найти локальные экстремумы функции Криволинейные интегралы Система координат Найти предел Комплексные числа Производная по направлению

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Задача о массе кривой

Рассмотрим физическую задачу, которая приводит к понятию криволинейного интеграла I типа. Пусть вдоль некоторой спрямляемой кривой L распространена масса с плотностью r(М) "MÎL.

Задача. Определить массу всей этой кривой.

Разобьем кривую L на частичные дуги  . На каждой частичной дуге выберем произвольно точку ,  - плотность в точке . Будем считать, что плотность на всей частичной дуге  постоянна и равна . Тогда  - масса дуги , следовательно,  - масса всей кривой L.

Последнее равенство тем точнее, чем меньше разбиение. Пусть . Тогда

.

Физический смысл криволинейного интеграла I типа

  физически выражает массу кривой L, плотность в каждой точке которой равна f(M).

4. Вычисление криволинейного интеграла I типа

Криволинейный интеграл I типа вычисляется путем сведения его к обыкновенному определенному интегралу. Пусть требуется вычислить .

Теорема. Пусть кривая L=AB задана параметрически

, (3)

где j(t) и y(t) - непрерывно дифференцируемы на [t1;t2]. Пусть f(x;y) непрерывна на кривой L. Тогда

.  (4)

Доказательство.

  Пусть для определенности меньшему значению параметра t1 соответствует точка A. Функция f(x;y) непрерывна вдоль кривой L, т. е. непрерывна в любой точке М(x;y)ÎL. Положение точки  на кривой L определяется длиной дуги . Этим самым координаты x, y точки M тоже определяются как функции от s:  Это есть параметрическое представление кривой L с параметром sÎ[0;S], где S - длина всей кривой L. Тогда f(x;y)=f(x(s);y(s))=F(s) - сложная функция от s.

Пусть   - произвольное разбиение кривой L на дуги . Произвольно выберем на   точку . Обозначим через  и  значения параметра s, отвечающие соответственно точкам  и . Тогда

.  (5)

Справа в (5) – обычная интегральная сумма для функции F(s), где . Переходя в (5) к  , получим

, (6)

где интегрирование по s уже обозначает взятие обыкновенного определенного интеграла от функции одной переменной F(s). Так как f(x;y) непрерывна и x=x(s), y=y(s) непрерывны, то сложная функция F(s) непрерывна и, следовательно, существуют все интегралы в (6).

С другой стороны длину s дуги  можно рассматривать как функцию параметра t: s=s(t). Таким образом, M=M(j(t);y(t)). С возрастанием t от t1 до t2 величина s возрастает от 0 до S. Известно, что дифференциал дуги

.

Выполнив замену переменной в (6) получим:

=.

Замечание. Если кривая L задана явным уравнением y=j(x) (xÎ[a;b], j(x)- непрерывно дифференцируемая функция), то принимая за параметр переменную , получим параметрическое уравнение кривой:  Следовательно,

. (7)

Пример 1. Вычислить ,  - дуга астроиды , лежащей в первой четверти.

Δ Параметрическое уравнение части астроиды, лежащей в первой четверти:

.

По формуле (4)

. Δ

Пример 2. Вычислить массу всей цепной линии , если линейная плотность ее .

Δ . Применим формулу (7):

.

, ,

.

Следовательно,

. Δ


На главную