Найти частные производные функций Найти локальные экстремумы функции Криволинейные интегралы Система координат Найти предел Комплексные числа Производная по направлению

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Наибольшее и наименьшее значение функции

 Если функция  дифференцируема в ограниченной замкнутой области, то она достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке или в граничной точке области. Таким образом, для нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции в замкнутой области, необходимо:

 1) найти стационарные точки, расположенные в данной

области, вычислить значения функции в этих точках;

 2)найти наибольшее и наименьшее значения функции

на линиях, образующих границу области;

 3)из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

 Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения

функции   в области  ,  (прямоугольнике).

 Решение. 1) Найдем стационарные точки функции из

системы  Получаем две стационарных

точки . Значения функции в этих точках

Исследуем функцию на границах области:

а) При   имеем . Эта функция монотонно

возрастает и на концах отрезка [-1,2] принимает значения ;

 б) при  имеем . Найдем значения этой функции в стационарной точке и на концах отрезка [-1,2]. Имеем  при , или в данной области, при .

 в) При  имеем  и . Функция монотонно возрастает от до .

 г) При  имеем  и  

при    .

Сравнивая все найденные значения функции, заключаем, что  в точке (2,-1);  в точках (1,1) и (0,-1).

Задачи для самостоятельной работы.

 1.Найти наибольшее значение функции  в

областях а)  б)

 Ответ: а)  при б)  при

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

  в области

 Ответ:  при  и при  ;

  при

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

 в области

 Ответ:  при  при

 4. Представить положительное число  в виде произведения четырех положительных сомножителей так, чтобы сумма их обратных величин была наименьшей.

Ответ:

23.МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

 В практических применениях математики часто встречается такая задача. Зависимость между переменными величинами выражается в виде таблицы, полученной опытным путем. Это могут быть результаты эксперимента, данные наблюдений или измерений, статистической обработки материала и т.п. Требуется выразить эту зависимость между переменными аналитически, т.е. дать формулу, связывающую между собой соответствующие значения переменных. Такая формула облегчает анализ изучаемой зависимости. Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, принято называть эмпирическими формулами.

 Подбор эмпирической формулы по данным наблюдений не может ставить перед собой задачу разгадать истинный характер зависимости между имеющимися переменными. Даже в том случае, когда в нашем распоряжении имеются точные значения аргумента и функции, восстановить функцию по конечному числу ее значений - задача математически неразрешимая. Тем более не следует ожидать, что это удастся сделать исходя из экспериментальных данных, которые наверняка содержат случайные ошибки измерения или статистических наблюдений.

 Во многих случаях характер зависимости между переменными величинами предполагается известным из каких-либо теоретических соображений и задача подбора эмпирической формулы сводится к тому, чтобы определить числовые значения параметров, входящих в формулу данного вида.

 Один из способов подбора эмпирических формул состоит в том, что поданным результатам наблюдений подбирается наиболее простая формула того или иного типа, дающая наилучшее приближение к имеющимся данным. При этом пользуются принципом наименьших квадратов. Он основан на том, что из данного множества формул вида  наилучшим образом изображающей данные значения считается та, для которой сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от вычисленных является наименьшей.

 Подбор параметров функции , основанный на этом принципе, называют способом наименьших квадратов.

 Необходимо помнить, что способ наименьших квадратов применяется для подбора параметров после того, как вид функции  определен. Если из теоретических соображений нельзя сделать никаких выводов о том, какой должна быть эмпирическая формула, то приходится руководствоваться наглядным представлениями, прежде всего графическим изображением наблюденных данных. Вид функции выбирается таким образом, чтобы график этой функции по возможности близко напоминал расположение на графике данных наблюдения.

  Пусть в результате эксперимента получены  значений функции  при соответствующих значениях :  При выбранном виде функции  остается подобрать входящие в нее параметры так, чтобы сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от вычисленных являлась наименьшей. Составим функцию  и подберем параметры  так, чтобы сумма имела наименьшее значение. Таким образом, получилась задача нахождения минимума функции нескольких переменных . Сумма принимает минимальное значение при тех значениях параметров , при которых обращаются в нуль частные производные этой функции по каждой переменной, т.е. когда  

 Пример. Пусть . Составим функцию  Находим частные производные

Приравнивая каждую частную производную нулю, получаем систему двух линейных уравнений относительно

 

Из характера задачи следует, что система имеет определенное

решение и что при полученных значениях  функция  имеет минимум. Нетрудно доказать это и на основании достаточных условий. Действительно,

 

Следовательно,

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

Тема: ИССЛЕДОВАНИЕ НА ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

  Задача нахождения экстремума часто рассматривается применительно к исследованию квадратичной функции  Используя матричные обозначения, функцию  можно записать в виде . Вычислим частные производные первого порядка для функции :  Пользуясь симметрией матрицы А, получим формулу  Таким образом, для нахождения стационарной точки, необходимо решить систему  линейных уравнений , . Найдем частные производные второго порядка (элементы матрицы Гессе ): . Это означает, что для квадратичной функции   матрица Гессе не зависит от  и равна матрице А квадратичной формы соответствующей квадратичной функции. Для определения характера экстремума в точке  с помощью достаточных условий, исследуем вопрос о положительной или отрицательной определенности матрицы .

 Задание: Найти и определить вид стационарных точек приведенных ниже функций.

  Указания. 1. Для нахождения стационарной точки  функции  составить и решить систему уравнений 

2. Составить матрицу из вторых частных производных функции  (матрицу Гессе ). Матрица  совпадает с матрицей соответствующей квадратичной формы исходной квадратичной функции , .

3. Вычислить угловые миноры матрицы

 .

4. Сделать вывод о характере стационарной точки: если все угловые миноры матрицы   положительны, то - точка локального минимума, если знаки угловых миноров чередуются, начиная с минуса, то - точка локального максимума.

Форма отчетности: составить программу нахождения экстремума квадратичной функции. Найти экстремумы функций соответствующего варианта.

 Литература

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное

исчисления. М.: Наука. Т.1, 1985.432 с.

2.Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики М.: Высш. Шк.,1986.480 с.

3.Сборник задач по математике для втузов. Ч.1. Линейная

алгебра и основы математического анализа. Под ред.

А.В. Ефимова, Б.П.Демидовича.М.:Наука.1993.480 с.

4.Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных. М.: Высш. Шк., 1988. 288с.

5. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В.

Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш. шк., 1994.544 с.


На главную