Найти частные производные функций Найти локальные экстремумы функции Криволинейные интегралы Система координат Найти предел Комплексные числа Производная по направлению

Курсовая по математике. Примеры решения задач Курсовая по математике. Примеры решения задач

Пример 1. Методом Лагранжа найти экстремум функции  при условиях связи

 Решение. Составим функцию Лагранжа

   и рассмотрим систему уравнений

 

Она имеет единственное решение  то есть - единственная точка возможного экстремума функции при заданных условиях связи. Вычислим второй дифференциал функции Лагранжа   и подставляя  и , найденное из первого уравнения связи, получаем положительно определенную квадратичную форму от переменной  при . Отсюда следует, что функция при заданных условиях связи имеет в точке  условный минимум.

 Пример 2. На эллипсоиде  найти точку, наиболее удаленную от точки (0,0,3).

  Решение. Расстояние между точками  и (0,0,3)

определяется формулой . Поэтому

исходная задача равносильна задаче об условном максимуме функции  при условии связи . Составим функцию Лагранжа

  

и рассмотрим систему уравнений:

 

Так как эллипсоид более всего вытянут вдоль оси , то абсцисса искомой точки не может быть равна нулю, то есть . Поэтому из первого уравнения системы следует, что . Тогда из второго и третьего уравнений системы имеем  Из последнего уравнения системы находим  Итак, функция имеет две точки возможного экстремума . Из уравнения связи получим , откуда  Теперь вычисляем второй дифференциал функции Лагранжа

  .

Подставим , координаты точки  и выражение для , получаем отрицательно определенную квадратичную форму от двух переменных  :. Отсюда следует, что функция имеет в точках  условный максимум при заданных условиях связи, то есть на эллипсоиде имеются две точки  наиболее удаленные от точки (0,0,3).

  Задачи для самостоятельной работы.

 1. Исследуйте на условный экстремум методом исключения части переменных функцию:

 а) при условии связи ;

 б)  при условии связи ;

  в) при условии связи ;

  г)  при условии связи ;

 д)   при условии связи ;

 е)  при условии связи

;

  ж)  при условии связи .

 Ответ:а)

б);

в) в точках  и ;

  в точках  и ;

г) д) нет точек экстремума;

е)   ;ж) ;

 

 2. Исследуйте на условный экстремум методом Лагранжа:

 а) функцию  при условии связи

 б) функцию  при условиях связи 

.

  Ответ: а)  в точках (-1,1,1),(1,-1,1),(1,1,-1),

(-1,-1,-1),   в точках (1,1,1),(-1,-1,1),(-1,1,-1),(1,-1,-1);

б)  в точках

,  в точках

.

3.При каких значениях диаметра основания  и высоты

цилиндрическая банка, объем которой равен 54, имеет наименьшую поверхность? Ответ:.

 4. При каких размерах прямоугольная банка объемом 32 см2 открытая сверху (т.е. без верхней грани), имеет наименьшую поверхность?

  Ответ: при высоте 2 см и длинах сторон основания равных 4 см.

  5. Найдите наименьшее расстояние между точками параболы   и прямой . Ответ:.


На главную